线性代数的几何意义

线性相关的含义为，两个向量中至少有一个没有对张成空间做出贡献，移除一个不影响张成空间的大小。如果每一个向量都给向量空间增加了新的维度，那么它们就被成为线性无关的。

矩阵乘法的本质实际上是两个/多个线性空间的进行变换后的叠加效果，满足结合律但是不满足交换律。

由于上面的几何意义，我觉得矩阵乘法看作其中一个空间的每一条基向量经过另一个矩阵的线性变换以后基向量十分合适。

行列式的意义是在空间定向的含义上表示一个线性空间表示的区域变化的倍率，所以它可以为负值，在二维空间的意义上他代表两个基向量的顺序被倒转即i位于j向量的逆时针方向（不超过半圆）这在空间定向的含以上表示整个线性空间被翻了一个面。

一个矩阵的逆矩阵具有如下性质，当你先后进行了一个矩阵的线性变换再进行这个矩阵的逆矩阵变换，线性空间保持不变。

秩的几何意义表示这个变化后的线性空间的维度，当一个二位线性空间变化为一个行列式为0的线性空间时，秩从2变为了1.而这些所有可能存在的变换结果的集合被称为列空间（其中包括了所有可能的变换）更精确的定义秩是列空间的维数。

当一个变换导致秩下降的时候，会有一系列的列向量被压缩到零向量的位置成为零向量，可以想象一个平面被压缩成一条直线时，有多少个点被压缩到了0的位置。变换后落在原点的向量的集合被称为零空间。或者核。

当线性方程组表现为这个形式时：

这个方程的解就是这个线性变换的零空间

两个非方形矩阵的点积也有其意义，即表示一个向量在另一个向量描述的线性空间中的投影。

向量P与其他向量点积的几何解释，是其他向量在P上的投影长度和P的长度相乘。于是我们可以考虑如下一个三维空间中的三个向量组成的张性空间。

底部的v和w的叉积为这两个向量所组成平行四边形的面积。而此时就可以得到我们要求的叉积=S*向量（x,y,z）在垂直于v和w直线上的投影。而这个计算过程刚好和(x,y,z)与长度为底部向量叉积方向垂直于底部的一个向量P的点积一致。如果你选择了合适的方向：

所以这个三乘三矩阵的行列式实际上求得就是这三个向量所张成的三位空间的体积！！！！！

如果我们想要求得一个基于标准基经过变换T后的一个向量的坐标，我们通常的做法是将这个向量在标准基下的坐标乘以这个变换的矩阵T，得到的坐标就是基于我们的语言描述的，转换后这个向量的坐标。这里基于我们的语言指的是这个向量的坐标还是基于标准基的。只不过它是经过变换后的坐标。那么我们应该如何考虑一个基于变换后语言下的坐标表示呢？

规则是这样的，假设这个变换的矩阵为T，我们在这个变换后的基向量世界中有一个向量X，要想求得这个X（变换后的基向量表示）在标准基下的坐标表示，就应该为X*T，而如果想要把一个上面所说的，基于我们语言下变换后的向量坐标E转换为基于变换后基向量表示的坐标，则需要让E*(T^-1)，即X*T = E。

那么我们应该如何求得一个非标准基A下，经过变换后，基于这个非标准基的向量B表示呢？通常的做法，是找到和这个变换等价的标准基下的变换矩阵T，例如你将一个非标准基逆向旋转了90°，那么这个矩阵T就应该表示为

这个矩阵为标准基逆向旋转90°的矩阵T，然后首先使用A*B找到这个向量在标准基下的坐标表示C，然后把这个向量坐标表示C*T，这样的到的就是这个向量在标准基下旋转90°后的向量坐标B1。最后把这个B1*(A^1)，最后把B1乘上A的逆矩阵，这样就得到了这个向量基于A的基向量表示坐标了。

所以实际上求解特征值就是求A-λ*I，其中I为单位矩阵。它的几何解释就是因为线性空间中只有当线性变换压缩了维度的时候，才存在向量和变换的乘积为0.

但并非每一个线性变换都有特征值，例如90度旋转

这里中间的矩阵为在原始向量空间中的变换，左侧是这个变换的两个特征向量作为基构成的变换。如上一节描述的，通过这种变换，我们得到的矩阵代表的是同一个变换，只不过是从新基向量构成的坐标系的角度来看的。而这样转换的原因，是因为由特征基向量构成的变换必然是对角的，并且对角元为对应的特征值。这是因为他所处在的坐标系的基向量在变换中只进行了缩放，所以在新的坐标系空间来看，这个变换只是把对应的X与Y都进行了拉伸。

如果要计算一个矩阵的一百次幂，通过常规的计算手法是非常棘手的，但是如果这个矩阵所代表的变换有用可以张成整个空间的足够的特征向量（即特征向量组满秩），我们就可以利用这些特征向量创建一个新的坐标系，并且把这个变换用新的坐标系表示，在这个新的坐标系中，这个变换的矩阵必定是对角矩阵，也就是说我们可以在这个新的坐标系中完成矩阵的计算，然后再从这个坐标系转移回去！！！！（如果特征向量不够张成空间，例如只有一个或者没有则不行）

线性变换远远不仅存于“向量”空间中这里的向量指的是我们上文中所描述的所有表示为坐标轴上的一个箭头或者一个点，所有满足上述八个约束/公理的概念都适用我们上述所学的那些概念，因为他们都可以视作处于一个向量空间中。